5鹿児島大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より、$g(x)=0$ の解では $x^3=1$。 同様に $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ より、$h(x)=0$ の解では $x^3=-1$。

(2) $x^{3n}-1$ は $x^3-1$ で割り切れる。 $$f(x)=(x^{3n}-1)(x^{3n}+2)$$ だから、$f(x)$ を $g(x)$ で割った余りは $0$。

(3) $x^{3n}-(-1)^n$ は $x^3+1$ で割り切れ、$x^{6n}-1$ も同様である。 よって $h(x)$ で割った余りは定数 $(-1)^n-1$。 割り切れるならこの定数が0であるから、$n$ は偶数である。

(4) $n=1$ のとき $f(x)=(x^3-1)(x^3+2)$。 $x^3=1$ の虚数解は $$\displaystyle \cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3,\quad \cos\frac{4\pi}3+i\sin\frac{4\pi}3.$$ $x^3=-2$ の虚数解は $$\displaystyle \sqrt[3]2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right),\quad \sqrt[3]2\left(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3\right).$$ これら4個が求める解である。