18自治医科大学 2014年 数学 第18問解答・解説

問題 $\vec a=(2,1,-2),\ \vec b=(3,4,0),\ \vec c=(x,y,z)$ とし、$\vec c$ は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直で $|\vec c|=2\sqrt5$ である。$|z|$ を求める。

解答 垂直条件を内積が $0$ であることに置き換えると $$2x+y-2z=0,\qquad 3x+4y=0.$$ 後式から $x=-4y/3$。これを前式に代入すると $$\displaystyle -\frac{8y}{3}+y-2z=0 \quad\text{より}\quad z=-\frac{5y}{6}.$$ $y=6t$ とおけば、$x=-8t,\ z=-5t$ なので $$\vec c=t(-8,6,-5).$$ したがって $$|\vec c|=|t|\sqrt{(-8)^2+6^2+(-5)^2}=5\sqrt5\,|t|.$$ 条件 $|\vec c|=2\sqrt5$ より $|t|=2/5$。ゆえに $$|z|=5|t|=2.$$

最終結果 $|z|=2$。選択肢は $\boxed{\text{サ}}$（値 $2$）。