6自治医科大学 2014年 数学 第6問解答・解説

$s=\sin\theta$ とおき、$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ を用いると 元の方程式 $$\cos2\theta-3\sin\theta+1=0$$ は $$1-2s^2-3s+1=0$$ と同値である。整理すると、これと同値な式 $$2s^2+3s-2=0$$ を得る。さらに因数分解すると $$(2s-1)(s+2)=0$$ となる。 $-1\leq s\leq1$ なので $s=-2$ は不可能であり、$\displaystyle \sin\theta=\frac12$。指定範囲 $0\leq\theta<2\pi$ でこれを満たす角は $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6},\qquad \theta=\frac{5\pi}{6}.$$ ゆえに $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=\pi$ であり、 $$\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\pi}=1.$$

最終結果・使用解法

$1$（選択肢 $\text{カ}$）。二倍角の公式で二次方程式に直し、正弦の値域と指定範囲で解を絞った。

点検

得られた2角はともに範囲内で正弦が $\displaystyle \frac12$ となり、除外した $s=-2$ は正弦の値域外である。問題文に判読上の不明点はない。