自治医科大学 2014年数学第1問解答・解説

1問題

自治医科大学2014年度第1問

整式 $x^5+3x^4+px^3+qx-2$ が $x^2+3x+4$ で割り切れるとき、 $p-q$ の値を求めよ。

選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1
$p-q=5$
2
選択肢: ハ

3解答

解答を見る途中式つきの解答

割る式を $0$ とおくと、剰余を計算する際に $x^2=-3x-4$ と置き換えられる。これを用いて順に整理すると、 $\begin{aligned} x^3&=x(-3x-4)=5x+12,\\ x^4&=x(5x+12)=-3x-20,\\ x^5&=x(-3x-20)=-11x+12. \end{aligned}$ したがって元の整式の剰余は $\begin{aligned} (-11x+12)+3(-3x-20)+p(5x+12)+qx-2 &=(5p+q-20)x+(12p-50). \end{aligned}$ 割り切れるための必要十分条件は、この一次式の $x$ の係数と定数項がともに $0$ になることである。よって $5p+q-20=0,\qquad 12p-50=0.$ 後式から $\displaystyle p=\frac{25}{6}$ 、これを前式に代入して $\displaystyle q=-\frac{5}{6}$ 。ゆえに $\displaystyle p-q=\frac{25}{6}-\left(-\frac{5}{6}\right)=5.$

最終結果・使用解法

$p-q=5$ （選択肢 $\text{ハ}$ ）。二次式を法とする剰余計算で係数を比較した。

点検

得られた $p,q$ では剰余の $x$ の係数と定数項がどちらも $0$ になる。問題文に判読上の不明点はない。

この問題で使う考え方

多項式の除法

1問題

2答え

3解答

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