自治医科大学 2014年数学第2問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第2問

$\displaystyle x^{\frac14}+x^{-\frac14}=2$ のとき、 $\displaystyle x^{\frac34}+x^{-\frac34}$ の値を求めよ。ただし、 $x>0$ とする。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$x>0$ なので $t=x^{1/4}$ とおけば $t>0$ であり、条件は $t+t^{-1}=2$ となる。 $t>0$ より両辺に $t$ を掛けることができ、 $t^2+1=2t\quad\text{すなわち}\quad (t-1)^2=0.$ したがって必要十分に $t=1$ 、すなわち $x=1$ である。求める式は $x^{3/4}+x^{-3/4}=t^3+t^{-3}=1+1=2.$

最終結果・使用解法

$2$ （選択肢 $\text{サ}$ ）。正の四乗根を置いて条件を平方完成し、値を直接求めた。

点検

条件を満たす正の $t$ は $1$ のみであり、元の条件にも代入して成立する。問題文に判読上の不明点はない。

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
二次方程式とグラフ

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