7自治医科大学 2014年 数学 第7問解答・解説

交点の $x$ 座標は、両式を等しくして得られる二次方程式 $$x^2+ax+b=x+a\quad\text{、すなわち}\quad x^2+(a-1)x+(b-a)=0$$ の解である。放物線と直線が接することは、この二次方程式が重解をもつことと同値である。したがって判別式が $0$ となる必要十分条件から $$\begin{aligned} (a-1)^2-4(b-a)&=0\\ (a+1)^2-4b&=0. \end{aligned}$$ ゆえに $$\displaystyle b=\frac{(a+1)^2}{4}.$$ $a,b$ が整数であるためには $a+1$ が偶数である。$a+1=2k$（$k$ は整数）とおけば $b=k^2$。条件 $b<10$ は $k^2<10$ であり、整数 $k$ は $$k=-3,-2,-1,0,1,2,3$$ の7通りである。各 $k$ に対して $(a,b)=(2k-1,k^2)$ がただ一つ定まり、すべて条件を満たす。

最終結果・使用解法

7組（選択肢 $\text{ヤ}$）。交点の二次方程式の判別式を接する条件と同値にし、整数条件を置換して数えた。

点検

得られる組は $(-7,9),(-5,4),(-3,1),(-1,0),(1,1),(3,4),(5,9)$ でいずれも整数かつ $b<10$。パラメータ $k$ の範囲で漏れも重複もない。問題文に判読上の不明点はない。