自治医科大学 2014年数学第14問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第14問

楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の点 $\displaystyle \left(\sqrt{3},-\frac32\right)$ における接線の傾きを $k$ とする。 $\displaystyle \frac{4k^2}{3}$ の値を求めよ。

選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

4k²/3
9
ワ

3解答

解答を見る途中式つきの解答

問題楕円 $x^2/4+y^2/9=1$ 上の点 $(\sqrt3,-3/2)$ における接線の傾きを $k$ とする。 $4k^2/3$ を求める。

解答楕円の式を $x$ で微分すると $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx}=0,$ したがって接線の傾きは $\displaystyle k=\frac{dy}{dx}=-\frac{9x}{4y}.$ 指定点 $(x,y)=(\sqrt3,-3/2)$ を代入すると $\displaystyle k=-\frac{9\sqrt3}{4(-3/2)}=\frac{3\sqrt3}{2}.$ よって $\displaystyle \frac{4k^2}{3}=\frac{4}{3}\cdot\frac{27}{4}=9.$

最終結果 $4k^2/3=9$ 。選択肢は $\boxed{\text{ワ}}$ （値 $9$ ）。

この問題で使う考え方

合成関数の微分
曲線の接線

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