自治医科大学 2014年数学第21問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第21問

関数 $y=ax^4-4ax^3+b$ （ $a,b$ とも実数、 $a>0$ ）の $1\leq x\leq4$ における最大値が3、最小値が $-24$ となるとき、 $a+b$ の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

Q21

最終答

$a+b=4$ である。選択肢はナ。

解答

$g(x)=x^4-4x^3$ とおくと、求める関数は $y=a g(x)+b$ である。 $a>0$ であることに注意すると、 $g$ の増減がそのまま $y$ の増減を決める。

$g'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$

区間 $1\leq x<3$ では $g'(x)<0$ 、区間 $3<x\leq4$ では $g'(x)>0$ だから、 $g$ は $1\le x\le3$ で減少し、 $3\le x\le4$ で増加する。各候補点の値は

$g(1)=-3,\qquad g(3)=-27,\qquad g(4)=0.$

よって、 $1\le x\le4$ の範囲での最大値は $0$ 、最小値は $-27$ である。したがって、関数 $y=a g(x)+b$ の最大値と最小値はそれぞれ $b$ 、 $-27a+b$ となる。条件から

$b=3,\qquad -27a+b=-24.$

これに $b=3$ を代入すると $a=1$ 。ゆえに

$a+b=1+3=4.$

使用解法

導関数の符号による増減と区間の最大・最小。

issues

なし。

この問題で使う考え方

多項式の導関数
導関数と増減

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