自治医科大学 2014年数学第3問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第3問

方程式 $\displaystyle \left(\frac34\right)^{2x}=\left(\frac{16}{9}\right)^{x-1}$ の解を $a$ とするとき、 $6a$ の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$\displaystyle \frac{16}{9}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$ だから、右辺を底 $\displaystyle \frac{3}{4}$ の累乗にそろえると $\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{2x}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-2(x-1)}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-2x+2}.$ 底 $\displaystyle \frac{3}{4}$ は正で $1$ ではないため、指数関数の一対一性より指数が等しい。よって $\displaystyle 2x=-2x+2\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x=\frac12.$ したがって $\displaystyle a=\frac12$ であり、 $\displaystyle 6a=6\cdot\frac12=3.$

最終結果・使用解法

$3$ （選択肢 $\text{タ}$ ）。底をそろえて指数を比較した。

点検

$\displaystyle a=\frac12$ を元の式に代入すると両辺は $\displaystyle \frac34$ となる。指数比較で解は一意である。問題文に判読上の不明点はない。

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
指数関数のグラフ・増減

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