11自治医科大学 2014年 数学 第11問解答・解説

問題 円 $x^2+y^2=2$ と直線 $y=2x+k$ が異なる2点 $A,B$ で交わる。三角形 $OAB$ の面積 $S$ が最大となるときの $k$ の値を $M$ とし、$M^2$ を求める。

解答 円の中心 $O$ から直線 $2x-y+k=0$ までの距離を $d$ とすると、点と直線の距離の公式から $$\displaystyle d=\frac{|k|}{\sqrt5}.$$ 半径は $\sqrt2$ だから、異なる2点で交わる条件は $0\le d<\sqrt2$。弦 $AB$ の中点へ中心から下ろした垂線は弦を二等分する。よって $$\displaystyle AB=2\sqrt{2-d^2},\qquad S=\frac12\,AB\,d=d\sqrt{2-d^2}.$$ $u=d^2$ とおけば $0\le u<2$ であり、 $$S^2=u(2-u)=1-(u-1)^2\le1.$$ 等号成立は $u=1$、すなわち $d^2=1$ のときである。したがって $k^2/5=1$ より、最大時の $k$ は $\pm\sqrt5$、その二乗は $$M^2=5.$$

最終結果 $M^2=5$。選択肢は $\boxed{\text{ハ}}$（値 $5$）。