1近畿大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $C_2$ の定点

$C_2$ の方程式を $a$ について見ると $$x^2+y^2+2y+1-4ax=0.$$ すべての $a\ne0$ に対して通る点では、係数 $-4x$ が0でなければならず、$x=0$。これを残りの式に代入すると $(y+1)^2=0$ だから、定点は $(0,-1)$ である。

(2) 2円が異なる2点で交わる条件

平方完成すると $$C_1:(x+2)^2+(y-3)^2=4,qquad C_2:(x-2a)^2+(y+1)^2=4a^2.$$ 中心をそれぞれ $(-2,3),(2a,-1)$、半径を $2,2|a|$、中心間距離を $$d=2\sqrt{(a+1)^2+4}$$ とする。2円が異なる2点で交わるための必要十分条件は $$|2-2|a||<d<2+2|a|,$$ すなわち $$|1-|a||<\sqrt{(a+1)^2+4}<1+|a|.$$ 右側の不等式を正の両辺について平方すると $a+2<|a|$。$a>0$ では成り立たず、$a<0$ では $a+2<-a$、つまり $a<-1$ と同値である。一方、$a<-1$ なら $|1-|a||=|a+1|<\sqrt{(a+1)^2+4}$ は常に成り立つ。従って範囲は $$\boxed{a<-1}.$$

(3) 交点を結ぶ直線の傾き

2円の式を引くと、共通点 $P,Q$ を通る直線（根軸）は $$\displaystyle 4(a+1)x-8y+8=0,qquad y=\frac{a+1}{2}x+1.$$ 傾きが $-3$ なので $(a+1)/2=-3$、従って $a=-7$。これは (2) の範囲にも含まれる。

(4) $\triangle APQ$ が正三角形

$C_1$ の中心 $A=(-2,3)$、半径は2であるから $AP=AQ=2$。正三角形となるには弦 $PQ$ の長さも2でなければならない。中心から弦への垂線は弦を二等分するので、中心から直線 $PQ$ までの距離 $h$ は直角三角形から $$h=\sqrt{2^2-(2/2)^2}=\sqrt3.$$ 根軸 $(a+1)x-2y+2=0$ と中心 $A=(-2,3)$ との距離は $$\displaystyle h=\frac{|(a+1)(-2)-2(3)+2|}{\sqrt{(a+1)^2+(-2)^2}} =\frac{2|a+3|}{\sqrt{(a+1)^2+4}}.$$ これを $\sqrt3$ と等しくして二乗すると $$4(a+3)^2=3\{(a+1)^2+4\} \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad a^2+18a+21=0.$$ 従って $$a=-9\pm2\sqrt{15}.$$ どちらも $a<-1$ を満たす（$2\sqrt{15}<8$ より $-9+2\sqrt{15}<-1$）ので、2つとも条件を満たす。

最終答案

$$\boxed{\text{ア }(0,-1)},\qquad \boxed{\text{イ }a<-1},\qquad \boxed{\text{ウ }-7},\qquad \boxed{\text{エ }-9\pm2\sqrt{15}}$$

**使用解法**：円の平方完成、2円の交点条件、根軸、点と直線の距離、弦の垂直二等分線。