2近畿大学 2015年 数学 第2問解答・解説

近畿大学2015 数学 第2問（A答案）

問題

$\triangle OAB$ において $\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ とする。

1. $C$ は辺 $OA$ の中点、$D$ は辺 $OB$ を $1:5$ に内分する点である。$AD$ と $BC$ の交点を $E$ とする。 2. $0<t<1/3$。$F$ は辺 $OA$ を $3t:1-3t$ に、$G$ は辺 $OB$ を $t:1-t$ に内分する点であり、$AG$ と $BF$ の交点を $H$ とする。 3. $\triangle OAB$ が正三角形のとき、$AG$ と $BF$ が直角に交わる $t$ を求める。

解答

(1) $\overrightarrow{OE}$

内分比より $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{OD}=\frac16\vec b.$$ 線分 $AD$ 上の点を、$A$ から $D$ に向かう割合を $s$ として表すと $$\displaystyle (1-s)\vec a+\frac{s}{6}\vec b.$$ 線分 $BC$ 上の点を、$B$ から $C$ に向かう割合を $u$ として表すと $$\displaystyle \frac{u}{2}\vec a+(1-u)\vec b.$$ 交点 $E$ では係数がそれぞれ一致するので $$\displaystyle 1-s=\frac{u}{2},\qquad \frac{s}{6}=1-u.$$ 第2式から $u=1-s/6$。これを第1式に代入すると $$\displaystyle 1-s=\frac12-\frac{s}{12} \quad\text{すなわち}\quad s=\frac6{11},\qquad u=\frac{10}{11}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{OE} =\left(1-\frac6{11}\right)\vec a+\frac{6}{11\cdot6}\vec b =\frac5{11}\vec a+\frac1{11}\vec b.$$ $s,u$ はともに $0$ と $1$ の間にあり、求めた交点は線分 $AD,BC$ 上にある。

$$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OE}=\frac{5\vec a+\vec b}{11}}$$

(2) 面積比 $k$

内分比から $$\overrightarrow{OF}=3t\vec a,\qquad \overrightarrow{OG}=t\vec b.$$ $H$ を $A$ から $G$ へ割合 $s$ だけ進んだ点とすると $$\overrightarrow{OH}=(1-s)\vec a+st\vec b.$$ 一方、$H$ を $B$ から $F$ へ割合 $u$ だけ進んだ点とすると $$\overrightarrow{OH}=3tu\vec a+(1-u)\vec b.$$ 係数を比較して $$1-s=3tu,\qquad st=1-u.$$ 第2式から $u=1-st$ なので、第1式に代入して $$1-s=3t(1-st), \quad\text{すなわち}\quad 1-3t=s(1-3t^2).$$ $0<t<1/3$ より $1-3t^2>0$ であり、 $$\displaystyle s=\frac{1-3t}{1-3t^2},\qquad u=1-st=\frac{1-t}{1-3t^2}.$$ これらはともに $0$ と $1$ の間にある。実際、 $$1-3t^2-(1-3t)=3t(1-t)>0,\qquad 1-3t^2-(1-t)=t(1-3t)>0.$$ したがって $H$ は線分 $AG,BF$ の交点である。

$\overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b$ とおけば、上の表示から $$\displaystyle y=st=\frac{t(1-3t)}{1-3t^2}>0.$$ $\triangle OAH$ と $\triangle OAB$ は共通の底辺 $OA$ をもち、直線 $OA$ からの高さはそれぞれ $y$ 倍の高さである。したがって面積比は $k=y$ となり、 $$\displaystyle \boxed{k=\frac{t(1-3t)}{1-3t^2}}$$

(3) $AG\perp BF$ となる $t$

$\triangle OAB$ は正三角形なので $$\displaystyle |\vec a|=|\vec b|,\qquad \vec a\cdot\vec b=\frac12|\vec a|^2.$$ 直線 $AG$ の方向ベクトルを $t\vec b-\vec a$、直線 $BF$ の方向ベクトルを $3t\vec a-\vec b$ とおける。直角に交わる条件はこれらの内積が $0$ となることだから、 $$\displaystyle \begin{aligned} 0&=(t\vec b-\vec a)\cdot(3t\vec a-\vec b)\\ &=3t^2(\vec a\cdot\vec b)-t|\vec b|^2-3t|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec b\\ &=|\vec a|^2\left(\frac32t^2-4t+\frac12\right). \end{aligned}$$ $|\vec a|^2>0$ なので $$\displaystyle 3t^2-8t+1=0,\qquad t=\frac{8\pm\sqrt{64-12}}6 =\frac{4\pm\sqrt{13}}3.$$ 条件 $0<t<1/3$ を満たすのは $$\displaystyle \boxed{t=\frac{4-\sqrt{13}}3}$$ だけである。実際、$3<\sqrt{13}<4$ より $0<4-\sqrt{13}<1$ であり、他方の解は $t>1/3$ となる。

使用した解法

内分点の位置ベクトルを端点の一次結合で表し、交点では係数を比較した。面積比は共通の底辺に対する高さの比で計算した。正三角形での垂直条件は方向ベクトルの内積を $0$ として立式し、二次方程式を解いた。