3近畿大学 2015年 数学 第3問解答・解説

近畿大学2015 数学 第3問（A答案）

問題

数列 $$1,\ 1,4,\ 1,4,7,\ 1,4,7,10,\ 1,4,7,10,13,\ \ldots$$ について、(1) 第200項、(2) 初項から第200項までの和、(3) $5000<S_n<6000$ を満たす $n$ の個数を求める。

解答

第 $m$ 組には $$1,\ 4,\ 7,\ \ldots,\ 1+3(m-1)$$ の $m$ 項が並ぶ。この組の初項から末項までの和は、等差数列の和の公式から $$\displaystyle \frac{m\{1+(1+3(m-1))\}}2=\frac{m(3m-1)}2. \tag{1}$$ 第 $m$ 組の終わりまでの項数を $$\displaystyle T_m=1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}2$$ とする。

(1) 第200項

$$\displaystyle T_{19}=\frac{19\cdot20}{2}=190<200,\qquad T_{20}=\frac{20\cdot21}{2}=210.$$ したがって第200項は第20組の $200-190=10$ 番目である。第20組の第 $r$ 項は $1+3(r-1)$ だから、 $$1+3(10-1)=28.$$ $$\boxed{28}$$

(2) 初項から第200項までの和

第1組から第19組までを足し、第20組の初めの10項を足せばよい。(1) より第1組から第19組までの和は $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{m=1}^{19}\frac{m(3m-1)}2 &=\frac12\left(3\sum\limits _{m=1}^{19}m^2-\sum\limits _{m=1}^{19}m\right)\\ &=\frac12(3\cdot2470-190)=3610. \end{aligned}$$ ここでは $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{19}m=190,\qquad \sum\limits _{m=1}^{19}m^2=\frac{19\cdot20\cdot39}{6}=2470$$ を用いた。第20組の初めの10項は $1,4,\ldots,28$ なので、その和は $$\displaystyle \frac{10(1+28)}2=145.$$ よって求める和は $$3610+145=3755.$$ $$\boxed{3755}$$

(3) $5000<S_n<6000$ となる $n$ の個数

第 $m$ 組までの和は、(1) と平方和の公式から $$\displaystyle \begin{aligned} S_{T_m} &=\sum\limits _{j=1}^{m}\frac{j(3j-1)}2\\ &=\frac12\left(3\cdot\frac{m(m+1)(2m+1)}6-\frac{m(m+1)}2\right)\\ &=\frac{m^2(m+1)}2. \end{aligned}$$ よって $$T_{21}=231,\quad S_{T_{21}}=4851;\qquad T_{22}=253,\quad S_{T_{22}}=5566;\qquad T_{23}=276,\quad S_{T_{23}}=6348.$$ 各項は正なので $S_n$ は $n$ とともに増加する。したがって $5000<S_n<6000$ となりうるのは、第22組または第23組の途中である。

第22組の初めの $r$ 項の和は $$\displaystyle 1+4+\cdots+(3r-2)=\frac{r\{1+(3r-2)\}}2=\frac{r(3r-1)}2.$$ 第22組では $$\displaystyle \frac{10(3\cdot10-1)}2=145,\qquad \frac{11(3\cdot11-1)}2=176.$$ よって $r=10$ まででは $S_n=4851+145=4996$ だが、$r=11$ では $S_n=4851+176=5027$ となる。初めて $S_n>5000$ となるのは $$n=T_{21}+11=242.$$

第22組終了時には $S_{253}=5566$。第23組で初めの $r$ 項を加えると、$r=17$ では $$\displaystyle S_{253+17}=5566+\frac{17(3\cdot17-1)}2 =5566+425=5991<6000,$$ 一方、$r=18$ では $$\displaystyle S_{253+18}=5566+\frac{18(3\cdot18-1)}2 =5566+477=6043>6000.$$ したがって条件を満たす最後の $n$ は $253+17=270$。ゆえに該当する整数は $242,243,\ldots,270$ であり、その個数は $$270-242+1=29.$$ $$\boxed{29\text{個}}$$

使用した解法

項を三角形状の組に分け、各組を等差数列として扱った。項数には三角数、組ごとの和には等差数列の和、組の累積には平方和を用いた。最後は $S_n$ の増加性と隣り合う部分和を比較して、厳密不等式を満たす端の $n$ を特定した。