1東海大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $(1+x)(1+x^{2}+x^{4})=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ である。また，$(1+x^{3})(1+x+x^{2})=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ である。したがって，アは $1+x^{2}+x^{4}$，イは $1+x+x^{2}$ である。

(2)　 第1群から第 $n-1$ 群までに含まれる数の個数は，各群の項数を足して $\displaystyle 2+4+\cdots+2(n-1)=2\sum\limits _{k=1}^{n-1}k=n(n-1)$ 個である。正の奇数列の第 $m$ 項は $2m-1$ だから，第 $n$ 群の最初の項は，$$2\{n(n-1)+1\}-1=2n^{2}-2n+1.$$ 第 $n$ 群は $2n$ 個の連続する奇数であり，最後の項は，$$2\{n(n-1)+2n\}-1=2n^{2}+2n-1.$$ よって項の総和は，初項と末項の平均に項数を掛けて，$$\displaystyle 2n\cdot\frac{(2n^{2}-2n+1)+(2n^{2}+2n-1)}{2}=4n^{3}.$$ となる。

(3)　 対数の底の条件から $x>0,\ x\ne1$ である。$t=\log_{2}x$ とおくと $t\ne0$ であり，底の変換より $\log_{x}2=1/t$ である。したがって，$$\displaystyle t+\frac1t-2=0\text{であるための必要十分条件は}(t-1)^{2}=0,$$ よって $t=1$，すなわち $x=2$ である。$x=2$ は定義域に含まれ，元の式を満たす。