19自治医科大学 2014年 数学 第19問解答・解説

Q19

最終答

求める値は $4$ である。選択肢はナ。

解答

$O$ を原点とし、$A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ とする。各面は正三角形なので、位置ベクトル間の角は $60^\circ$ であり、各辺の長さが $1$ であることから、

$$\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf a=\frac12.$$

中点の位置ベクトルは $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}$、$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac{\mathbf c}{2}$ である。したがって、

$$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\frac{\mathbf c-\mathbf a-\mathbf b}{2},\qquad \overrightarrow{BN}=\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b.$$

したがって、

$$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BN} &=\frac12(\mathbf c-\mathbf a-\mathbf b)\cdot\left(\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b\right)\\ &=\frac12\left(\frac12-\frac12-\frac14+\frac12-\frac14+1\right)=\frac12. \end{aligned}$$

よって、

$$\displaystyle 8\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BN}=8\cdot\frac12=4.$$

正四面体の辺の内積条件を使った計算を再確認すると、$\displaystyle \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BN}=\frac12$ であり、選択肢の値は $4$ で一致する。

使用解法

位置ベクトルと空間ベクトルの内積。

issues

なし。