自治医科大学 2014年数学第15問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第15問

数列 $\{a_n\}$ は、 $a_1=2$ と $a_{n+1}=3a_n-2$ を満たしている（ $n$ は自然数）。 $\displaystyle S_n=\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}a_k$ とする。 $S_n>2014$ を満たす最小の $n$ の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$b_n=a_n-1$ とおくと $b_1=1$ 、 $b_{n+1}=3b_n$ 。よって $b_n=3^{n-1}$ 、すなわち $a_n=3^{n-1}+1$ 。 $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}(3^{k-1}+1)=\frac{3^n-1}{2}+n.$ $n=7$ では $S_7=1100$ 、 $n=8$ では $S_8=3288$ 。すべての $a_n$ は正だから $S_n$ は増加し、2014を初めて超える最小の $n$ は $n=8.$

この問題で使う考え方

漸化式
等比数列の一般項と和

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