3旭川医科大学 2015年 数学 第3問解答・解説

問1　 $y=\sin^2x$ の導関数は $\sin2x$ である。よって $t$ における接線は $$y=\sin^2t+(x-t)\sin2t.$$ これと $x=a$ との交点Pの $y$ 座標は $$f(t)=\sin^2t+(a-t)\sin2t.$$

問2　 $t$ で微分すると $$f'(t)=\sin2t-\sin2t+2(a-t)\cos2t=2(a-t)\cos2t.$$ $f(0)=0,\ f(\pi/2)=1,\ f(a)=\sin^2a$、また $$\displaystyle f(\pi/4)=\frac12+a-\frac\pi4=a+\frac12-\frac\pi4.$$ $\cos2t$ は $0\le t<\pi/4$ で正、$\pi/4<t\le\pi/2$ で負である。従って、 $$\begin{array}{ll} 0\le a<\pi/4:& f\text{ は }0\le t\le a\text{ で増加、}a\le t\le\pi/4\text{ で減少、}\pi/4\le t\le\pi/2\text{ で増加},\\ a=\pi/4:& f\text{ は }0\le t\le\pi/2\text{ の範囲全体で増加},\\ \pi/4<a\le\pi/2:& f\text{ は }0\le t\le\pi/4\text{ で増加、}\pi/4\le t\le a\text{ で減少、}a\le t\le\pi/2\text{ で増加}. \end{array}$$ （端点が一致する区間は一点である。）極値候補は $t=0,\pi/2,a,\pi/4$。$0\le a\le\pi/2$ では $0\le f(a)=\sin^2a\le1$ なので、最大値と最小値は $$\displaystyle \max\limits _{0\le t\le\pi/2} f(t)=\max\left(1,a+\frac12-\frac\pi4\right),\qquad \min\limits _{0\le t\le\pi/2} f(t)=\min\left(0,a+\frac12-\frac\pi4\right).$$ すなわち、最大値は $a\le(\pi+2)/4$ で $1$、$a>(\pi+2)/4$ で $a+1/2-\pi/4$。最小値は $a<(\pi-2)/4$ で $a+1/2-\pi/4$、$a\ge(\pi-2)/4$ で $0$ である。

問3　 横座標を $x$ と固定すると、各接線上の点の縦座標は問1の $f(t)$ において $a=x$ とした値である。$f(t)$ は $0\le t\le\pi/2$ で連続なので、その縦座標は問2の最小値から最大値までの全てを取る。従って求める領域は $$\displaystyle 0\le x\le\frac\pi2,\qquad \min\left(0,x+\frac12-\frac\pi4\right)\le y\le \max\left(1,x+\frac12-\frac\pi4\right).$$ 図示する際の下側境界は、$0\le x\le(\pi-2)/4$ では $y=x+1/2-\pi/4$、$(\pi-2)/4\le x\le\pi/2$ では $y=0$。上側境界は、$0\le x\le(\pi+2)/4$ では $y=1$、$(\pi+2)/4\le x\le\pi/2$ では $y=x+1/2-\pi/4$ である。境界を含む。