4旭川医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{問1. }\mathbf a=\overrightarrow{OA},\;\mathbf u=\overrightarrow{OP},\;\mathbf v=\overrightarrow{OQ}\text{ とおく。} \mathbf a\cdot\mathbf u=\frac p2,\quad \mathbf a\cdot\mathbf v=\frac q2,\quad \mathbf u\cdot\mathbf v=\frac{pq}{2},\quad \mathbf a\cdot\mathbf a=1.\text{ よって} \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=(\mathbf u-\mathbf a)\cdot(\mathbf v-\mathbf a)=1+\frac{pq-p-q}{2}.\\n\text{問2. }OPQ\text{ を }xy\text{ 平面に置き、}O=(0,0,0),\;P=(p,0,0),\;Q=\left(\frac q2,\frac{\sqrt3q}{2},0\right)\text{ とする。}A=(x,y,z)\text{ とおくと、} \mathbf a\cdot\mathbf u=\frac p2\text{ より }x=\frac12.\text{ また }\mathbf a\cdot\mathbf v=\frac q2\text{ より }\frac q2x+\frac{\sqrt3q}{2}y=\frac q2\text{ なので }y=\frac{1}{2\sqrt3}.\text{ }OA=1\text{ から} z^2=1-\frac14-\frac1{12}=\frac23.\text{ 平面 }OPQ\text{ は }z=0\text{ だから }AH=|z|=\sqrt{\frac23}.\\n\text{問3. }t=pq\text{ とする。}p+q=3\text{ のとき、問1より }\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=\frac{t-1}{2}\text{ であり、} AP^2=p^2-p+1,\qquad AQ^2=q^2-q+1. (p^2-p+1)(q^2-q+1)=t^2-4t+7 \text{ である。三角形の面積公式と内積から} [APQ]^2=\frac14\left(AP^2AQ^2-(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ})^2\right)=\frac{3t^2-14t+27}{16}. [APQ]=1\text{ より }3t^2-14t+11=0\text{、したがって }t=1\text{ または }\frac{11}{3}.\text{ 一方 }(p-q)^2\ge0\text{ より }t\le\frac94\text{ なので }pq=t=1. p,q\text{ は }X^2-3X+1=0\text{ の2根であり、}p\le q\text{ だから }p=\frac{3-\sqrt5}{2}. \text{最後に }[OPQ]=\frac{\sqrt3}{4}pq=\frac{\sqrt3}{4}\text{ なので、} V_{OAPQ}=\frac13[OPQ]\cdot AH=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt2}{12}.$$