4宮崎大学 2011年 数学 第4問解答・解説

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・ $$\alpha\beta=((\sqrt2+1)(\sqrt2-1))^x=1^x=1.$$

・ $A=\sqrt2+1$ とおくと $\sqrt2-1=A^{-1}$ である。$y=A^x$ とおけば $y>0$ であり，方程式は $$\displaystyle y+\frac1y=6$$ となる。よって $$y^2-6y+1=0,\qquad y=3\pm2\sqrt2.$$ ここで $A^2=3+2\sqrt2$，$A^{-2}=3-2\sqrt2$ だから，$x=2,-2$ である。したがって最大の解は $m=2$。

・ $x=\log_2t$ とおく。$t>4$ より $x>2$ である。求める条件は，すべての $x>2$ に対し $$x^2-bx+2>0$$ となることである。$x>2$ では $x>0$ なので，これは $$\displaystyle b<x+\frac2x$$ と同値である。また $$\displaystyle x+\frac2x-3=\frac{(x-1)(x-2)}x>0\qquad(x>2),$$ より $x+2/x>3$ である。したがって $b\le3$ ならば必要な不等式はすべての $x>2$ で成り立つ。

一方，$b>3$ とすると，$x=2$ では $x^2-bx+2=6-2b<0$ である。左辺は $x$ の連続関数だから，$2$ より大きく十分近い $x$ でも負となり，条件を満たさない。ゆえに求める範囲は $$\boxed{b\le3}.$$