5宮崎大学 2011年 数学 第5問解答・解説

方程式 $\tan x=x$ について，次の各問に答えよ。ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ を満たす $x$ について，不等式 $\sin x<x<\tan x$ が成り立つことを用いてもよい。

(1) 各自然数 $n$ について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$ の範囲に方程式 $\tan x=x$ の解がただ1つ存在することを示せ。

(2) 各自然数 $n$ について，(1) で存在が示された解を $x_{n}$ とする。このとき，極限値 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n\left(n\pi+\frac{\pi}{2}-x_{n}\right)$$ を求めよ。