2宮崎大学 2011年 数学 第2問解答・解説

袋の中には10点でないカードが4枚、10点のカードが2枚ある。

(1) 10点のカードが初めて出るまでの枚数を考える。 $$\displaystyle \begin{aligned} P(k=1)&=\frac{2}{6}=\frac13,\\ P(k=2)&=\frac46\cdot\frac25=\frac4{15},\\ P(k=3)&=\frac46\cdot\frac35\cdot\frac24=\frac15,\\ P(k=4)&=\frac46\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac23=\frac2{15},\\ P(k=5)&=\frac46\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13=\frac1{15}. \end{aligned}$$ 最後の式では、最初の4枚がすべて10点でないカードなら、5枚目は必ず10点のカードである。確率の和は $\displaystyle \frac{5+4+3+2+1}{15}=1$ となる。

(2) $k=j$ のとき、最初の $j-1$ 枚は4枚の10点でないカードから選ばれたカードであり、その後に10点のカードが出る。最初の $j-1$ 枚の各位置に来るカードは4枚の中で等確率だから、各位置の得点の期待値は $\displaystyle \frac{100+100+50+50}{4}=75$ 点である。したがって、$k=j$ のときの $S$ の条件付き期待値は $75(j-1)+10$ 点である。よって、 $$\displaystyle \begin{aligned} E(S)&=\sum\limits _{j=1}^{5}P(k=j)\{75(j-1)+10\}\\ &=\frac13\cdot10+\frac4{15}\cdot85+\frac15\cdot160+\frac2{15}\cdot235+\frac1{15}\cdot310\\ &=110\text{点}. \end{aligned}$$ 検算として、$k$ の確率は合計1であり、各条件付き期待値も、取り出す枚数が増えるごとに75点ずつ増えている。

10点以外は4枚、10点は2枚。最初のk−1枚が非10点で次に10点が出る確率を順に数える。k=5では最初の4枚がすべて非10点なら5枚目は必ず10点。k=jと条件づけると最初のj−1枚の各位置の平均点は75点、最後が10点なのでE[S|k=j]=75(j−1)+10。確率で重み付けした期待値は110点。