1宮崎大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) $a_n$ は $\sqrt{n}$ 以下の整数の最大のものなので、$a_n=\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ である。$\sqrt{1}=1$ であり、$1<\sqrt{2}<2$、$1<\sqrt{3}<2$、$\sqrt{4}=2$ だから、$a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=1,\ a_4=2$ である。

(2) $j^2\le n<(j+1)^2$ を満たす自然数 $n$ では $a_n=j$ であり、この範囲の整数 $n$ は $(j+1)^2-j^2=2j+1$ 個ある。したがって、$1\le j\le m-1$ の各範囲の寄与を足し、最後の $n=m^2$ の寄与 $m$ を加えると、$$\displaystyle S=\sum\limits _{j=1}^{m-1}j(2j+1)+m=2\sum\limits _{j=1}^{m-1}j^2+\sum\limits _{j=1}^{m-1}j+m.$$ $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{m-1}j=\dfrac{m(m-1)}{2}$、$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{m-1}j^2=\dfrac{m(m-1)(2m-1)}{6}$ を用いて整理すれば、$$\displaystyle S=\frac{m(m-1)(2m-1)}{3}+\frac{m(m-1)}{2}+m=\frac{m(4m^2-3m+5)}{6}.$$ $m=1$ の場合も和の範囲は空となり、$S=1$ でこの式と一致する。