2東京大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) $\alpha=\sqrt2-1$ とおくと $1/\alpha=2+\alpha$ である。よって $a_1=\alpha$ であり、帰納法から全ての $n$ で $a_n=\sqrt2-1$。

(2) $a_1=a$ から $1/3\le a<1$。また $1/a-a$ は正の整数で、$0<1/a-a\le8/3$ より1か2である。従って $a^2+a-1=0$ または $a^2+2a-1=0$。範囲内の根は $(\sqrt5-1)/2,\sqrt2-1$ で、いずれも $\langle1/a\rangle=a$ を満たすから十分である。

(3) $p=qk+r_1$、$0\le r_1<q$ とし、$r_0=q$ とおく。$r_1=0$ なら全項0。そうでなければ、割り算 $r_{j-1}=m_jr_j+r_{j+1}$、$0\le r_{j+1}<r_j$ を繰り返す。$a_j=r_j/r_{j-1}$ なら $a_{j+1}=\langle1/a_j\rangle=r_{j+1}/r_j$ となる。正の整数の余りは厳密に減少し、$r_1\le q-1$ だから遅くとも $r_q=0$。0になった後は定義により全項0なので、$n\ge q$ なら $a_n=0$。