4東京大学 2011年 数学 第4問解答・解説

$PQ=PR$ である。$s=\alpha+\beta,\ t=\alpha\beta$ とおくと、距離の二乗の差は $$\displaystyle PQ^2-PR^2=(\alpha-\beta)\left\{s(\alpha^2+\beta^2)+\frac{s}{2}-1\right\} =(\alpha-\beta)\left\{s(s^2-2t)+\frac{s}{2}-1\right\}.$$ 三角形なので $\alpha\ne\beta$ であり、したがって $s(s^2-2t)+s/2-1=0$。この式から $s\ne0$ で、 $$\displaystyle t=\frac{s^3+s/2-1}{2s}=\frac{s^2}{2}+\frac14-\frac1{2s}.$$ 重心の座標は $$\displaystyle X=\frac{1/2+s}{3},\qquad Y=\frac{1/4+\alpha^2+\beta^2}{3} =\frac{1/4+s^2-2t}{3} =\frac1{3s}-\frac1{12}.$$ よって $3X-1/2=s$、$3Y+1/4=1/s$ であり、$(3X-1/2)(3Y+1/4)=1$ を得る。

この条件を満たす実数 $\alpha,\beta$ が存在する条件は、二次方程式 $z^2-sz+t=0$ の判別式 $$\displaystyle D=s^2-4t=\frac{(1-s)(s^2+s+2)}{s}$$ が正であること。$s^2+s+2>0$ より、これは $0<s<1$ と同値である。各 $0<s<1$ について異なる実数 $\alpha,\beta$ が得られ、上の距離条件を満たす。さらに $P$ が直線 $QR$ 上にあれば、$PQ=PR$ から $P$ は $QR$ の中点となるので $s=1$ かつ $\alpha^2+\beta^2=1/2$ となり $D=0$ を導くが、これは $D>0$ に反する。したがって得られる三点は確かに三角形をなす。ゆえに $0<s<1$ がちょうど実現範囲であり、$1/6<X<1/2$（同値に $Y>1/4$）である。