5東京大学 2011年 数学 第5問解答・解説

a,b を固定すると、条件 $b\le c\le a$ を満たす整数 $c$ は $a-b+1$ 個ある。

(1) $w=-q$ なら $$p-q-(a+b)=-q,\qquad a+b=p.$$ $a\le p,\ b\le0$ だから、これを満たすのは $a=p,\ b=0$ だけである。このとき $c=0,1,\ldots,p$ より $p+1$ 個。 また $w=p$ なら $$p-q-(a+b)=p,\qquad a+b=-q.$$ $a\ge0,\ b\ge-q$ だから $a=0,\ b=-q$ に限られる。このとき $c=-q,-q+1,\ldots,0$ より $q+1$ 個。

(2) $p=q$ では $w=-(a+b)$ である。$w=-p+s$ とおくと $a+b=k$, $k=p-s$ となる。固定した $a$ に対して $b=k-a$ であり、許される $a$ は $$\displaystyle \max(0,k)\le a\le\min(p,p+k)$$ の整数である。各 $a$ に対する $c$ の個数は $$a-b+1=2a-k+1.$$ $|k|>p$ なら該当する $a$ はない。$0\le k\le p$ のときは $a=k,\ldots,p$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{a=k}^{p}(2a-k+1)=(p-k+1)(p+1).$$ $-p\le k\le0$ のときは $a=0,\ldots,p+k$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{a=0}^{p+k}(2a-k+1)=(p+k+1)(p+1).$$ ここに $k=p-s$ を代入すると、個数は $$\begin{cases} (p+1)(s+1)&(0\le s\le p),\\ (p+1)(2p-s+1)&(p<s\le2p),\\ 0&(\text{otherwise}) \end{cases}$$ となる。

(3) 各 $a,b$ に対する $c$ の個数をすべて足すと $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{a=0}^{p}\sum\limits _{b=-p}^{0}(a-b+1) &=(p+1)\sum\limits _{a=0}^{p}a-(p+1)\sum\limits _{b=-p}^{0}b+(p+1)^2\\ &=(p+1)\frac{p(p+1)}2+(p+1)\frac{p(p+1)}2+(p+1)^2\\ &=(p+1)^3. \end{aligned}$$