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群馬大学／2022年度

群馬大学 2022年 数学 第1問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

群馬大学2022年度第1問

3つの袋 A, B, C それぞれに, 1 から 30 までの番号を 1 つずつ書いた 30 枚のカードが入っている。A, B, C の袋からカードを 1 枚ずつ取り出す。全部で 30330^{3} 通りのすべての取り出し方について考える。このとき, 取り出した 3 枚のカードの番号を, X, Y, Z (X≦Y≦ZX \leq Y \leq Z) とする。たとえば, A, B, C の袋から, それぞれ 24, 16, 24 を取り出したとき, X=16X = 16, Y=Z=24Y = Z = 24 である。

(1) Y が 12 となるカードの取り出し方は, 30330^{3} 通りのうち何通りあるか。

(2) Y が 12 で, X, Y, Z が等比数列となるカードの取り出し方は, 30330^{3} 通りのうち何通りあるか。

(3) X, Y, Z が, 公差が 0 ではない等差数列となるカードの取り出し方は, 30330^{3} 通りのうち何通りあるか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) 1276通り。(2) 19通り。(3) 1260通り。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

袋A,B,Cは区別する。昇順に並べた3数の組を求め、その袋への割当てを数える。 (1) Y=12Y=12 となる場合を、12が出る枚数で分ける。

・ 1枚なら他の2数は12未満と12超。12の位置と大小の位置を選んで 3⋅2⋅11⋅18=11883\cdot2\cdot11\cdot18=1188 通り。

・ 2枚なら残りの位置は3通り、値は12以外の29通りで87通り。

・ 3枚なら1通り。

従って 1276通り\boxed{1276\text{通り}}。 (2) 正の等比数列では Y2=XZY^2=XZ。Y=12Y=12 より XZ=144XZ=144 で、X≦12≦Z≦30X\le12\le Z\le30 を満たす因数対は (X,Z)=(6,24),(8,18),(9,16),(12,12).(X,Z)=(6,24),(8,18),(9,16),(12,12). 初めの3組は相異なる3値なのでそれぞれ6通り、最後は1通り。従って 19通り\boxed{19\text{通り}}。 (3) 公差を正整数 dd、初項を mm とすると (X,Y,Z)=(m,m+d,m+2d)(X,Y,Z)=(m,m+d,m+2d)。m≧1,m+2d≦30m\ge1,m+2d\le30 だから 1≦d≦141\le d\le14、mm の選び方は 30−2d30-2d 通り。各組に6通りの袋への割当てがあるので 6∑d=114(30−2d)=6(420−210)=1260通り.\displaystyle \boxed{6\sum\limits _{d=1}^{14}(30-2d)=6(420-210)=1260\text{通り}}.

この問題で使う考え方

  • 重複のある場合分け
  • 因数対の列挙
  • 等差数列の和

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