4群馬大学 2022年 数学 第4問解答・解説

直線 $\ell$ は $x+y-1=0$ である。曲線 $C$ 上では $$\displaystyle x+y-1=x+\left(-\frac12x^2-\frac12x+1\right)-1=\frac{x(1-x)}2\ge 0$$ となる。したがって点と直線の距離は $$\displaystyle f(x)=\frac{|x+y-1|}{\sqrt2}=\frac{x(1-x)}{2\sqrt2} =\frac{1}{8\sqrt2}-\frac{(x-\frac12)^2}{2\sqrt2}.$$ $0\le x\le1$ でこの値は $\displaystyle x=\frac12$ のとき最大となり、最大値は $\displaystyle \frac{1}{8\sqrt2}$ である。

体積を求めるため、回転軸に沿う単位ベクトルとそれに垂直な単位ベクトルを $$\displaystyle \mathbf e=\frac{(1,-1)}{\sqrt2},\qquad \mathbf u=\frac{(1,1)}{\sqrt2}$$ とし、軸上の点 $A=(1,0)$ を基準にする。曲線上の点 $P=(x,y)$ に対して、軸方向の座標と軸からの距離を $$s=(P-A)\cdot\mathbf e,\qquad r=(P-A)\cdot\mathbf u$$ とおく。$A$ は $\ell$ 上にあるから、曲線上では $$\displaystyle r=\frac{x+y-1}{\sqrt2}=\frac{x(1-x)}{2\sqrt2}.$$ また $\displaystyle y'=-x-\frac12$ より $$\displaystyle \frac{ds}{dx}=\frac{1-y'}{\sqrt2}=\frac{x+\frac32}{\sqrt2}>0\qquad(0\le x\le1).$$ 従って軸方向座標は曲線に沿って単調に増加し、軸に垂直な断面は半径 $r$ の円板となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1 r^2\,ds =\frac{\pi}{8\sqrt2}\int_0^1x^2(1-x)^2\left(x+\frac32\right)\,dx\\ &=\frac{\pi}{8\sqrt2}\int_0^1\left(x^5-\frac12x^4-2x^3+\frac32x^2\right)dx\\ &=\frac{\pi}{8\sqrt2}\left(\frac16-\frac1{10}-\frac12+\frac12\right) =\frac{\pi}{120\sqrt2}. \end{aligned}$$

点と直線の距離を平方完成すると、区間内の最大値は $\displaystyle x=\frac12$ で $\displaystyle \frac1{8\sqrt2}$。回転体は、軸方向座標が単調に変化することを確認したうえで、曲線から軸までの距離を半径とする円板の積分で求める。積分値は $\displaystyle \frac1{15}$ で、体積は $\displaystyle \frac{\pi}{120\sqrt2}$。