3群馬大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$B=(0,0,0),C=(4,0,0),A=(0,3,0)$ と置く。$PB=PC=6$ より $$P=(2,y,z),\quad y^2+z^2=32,\quad z\ne0.$$ $M=(2,0,0),N=(2,3/2,0)$。三角形 $PBC$ の外心は $O=(2,ky,kz)$ と書ける。$OB^2=OP^2$ より $4+32k^2=32(1-k)^2$、したがって $k=7/16$。ゆえに $$\displaystyle OP=\frac9{16}\sqrt{32}=\frac{9\sqrt2}{4}.$$ $\angle MNO=90^\circ$ は $\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NO}=0$、すなわち $7y/16=3/2$ と同値である。よって $y=24/7$ となり $$\displaystyle \cos\angle PMN=\frac{y}{\sqrt{32}}=\frac{3\sqrt2}{7}.$$ 四面体の外接球中心は $S=(2,3/2,q)$。$SP^2=SB^2$ から $qz=14-3y/2$、半径を $R$ とすると $$\displaystyle R^2=\frac{25}{4}+q^2,\qquad q^2-\frac{31}{8}=\frac{(49/8)(y-24/7)^2}{32-y^2}\ge0.$$ 分母は $z^2>0$ である。等号は $y=24/7$ のときに実現し、このとき $z^2=992/49>0$。したがって $$\displaystyle R_{\min}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{31}{8}}=\boxed{\frac{9\sqrt2}{4}}.$$