3宮崎大学 2011年 数学 第3問解答・解説

正三角形の一辺は1なので、$|\vec a|=|\vec b|=1$、また $\vec a\cdot\vec b=1/2$ である。$\vec a,\vec b$ は平行でないので、これらで表したベクトルの係数を比較できる。内分比 $AC:CB=1:2$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{2\vec a+\vec b}{3}.$$

(1) $\overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AP}$ とおく。$\vec a,\vec b$ の係数を比較すると $$\displaystyle \frac{2\ell}{3}-1=-t,\qquad \frac{\ell}{3}=kt.$$ ここで $k>0$ なので $t=\ell/(3k)$ を代入できる。整理して $$\displaystyle \ell(2k+1)=3k, \qquad \ell=\frac{3k}{2k+1}.$$ 逆にこの関係から $t=\ell/(3k)$ は両係数の等式を満たすため、これは必要十分条件である。

(2) 三角形 $APQ$ の重心を $G$ とすると $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac13\left\{\left(1+\frac{2\ell}{3}\right)\vec a+\left(k+\frac{\ell}{3}\right)\vec b\right\}.$$ $|\vec a|=|\vec b|$ なので、角 $AOB$ の二等分線の方向は $\vec a+\vec b$ である。係数はともに正だから、重心がこの二等分線上にある条件は係数が等しいこと、すなわち $$\displaystyle 1+\frac{2\ell}{3}=k+\frac{\ell}{3},\qquad \ell=3(k-1)$$ である。$\ell>0$ より $k>1$。さらに(1)の一直線条件を整理すると $$3(k-1)(2k+1)=3k \quad\text{と同値な式は}\quad 2k^2-2k-1=0,$$ したがって $k=(1+\sqrt3)/2$（もう一方の根は $k>1$ に反する）である。問題では一直線上にないのでこの値だけを除く。 $$\displaystyle \ell=3(k-1),\qquad k>1,\quad k\ne\frac{1+\sqrt3}{2}.$$

(3) (2)から $\overrightarrow{OQ}=(k-1)(2\vec a+\vec b)$ である。よって $$\overrightarrow{AP}=k\vec b-\vec a,\qquad \overrightarrow{AQ}=(2k-3)\vec a+(k-1)\vec b.$$ $\vec a\cdot\vec b=1/2$ を使うと $$|AP|^2=k^2-k+1,$$ $$|AQ|^2=(2k-3)^2+(k-1)^2+(2k-3)(k-1)=7k^2-19k+13.$$ したがって $AP=AQ$ は $$6(k-1)(k-2)=0$$ と同値である。(2)の $k>1$ より $k=2$。このとき $\ell=3$、一直線条件(1)を満たさず、$|AP|^2=|AQ|^2=3$ なので元の条件も満たす。