2岡山大学 2011年 数学 第2問解答・解説

3枚を取り出す順序によらず、3枚の組を数える。全体は $\displaystyle T=\binom{3n}{3}$ 通りで、各組は同様に確からしい。3で割った余りが0、1、2のカードはそれぞれ $n$ 枚ずつある。

(1) 3の倍数のカード $n$ 枚から3枚を選ぶので $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom n3}{\binom{3n}3} =\frac{(n-1)(n-2)}{3(3n-1)(3n-2)}}.$$

(2) 3枚の余りの組は、順序を無視すると $$(0,0,0),\quad(1,1,1),\quad(2,2,2),\quad(0,1,2)$$ の場合に限って和が3の倍数になる。最初の3種類はそれぞれ $\displaystyle \binom n3$ 通り、最後は各余りのカードを1枚ずつ選ぶので $n^3$ 通り。したがって $$\displaystyle \boxed{\frac{3\binom n3+n^3}{\binom{3n}3} =\frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)}}.$$

(3) 積が3の倍数となる確率を $P$、和が3の倍数でない確率を $Q$ とする。積が3の倍数でないのは3の倍数のカードを1枚も選ばないときだから $$\displaystyle P=1-\frac{\binom{2n}3}{T},\qquad Q=1-\frac{3\binom n3+n^3}{T}.$$ 差の分子を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} T(P-Q) &=3\binom n3+n^3-\binom{2n}3\\ &=\frac{3n(n-1)(n-2)+6n^3-(2n)(2n-1)(2n-2)}6\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}6>0. \end{aligned}$$ $T>0$ なので $P>Q$。よって、$\boxed{\text{積が3の倍数となる確率の方が大きい}}$。