信州大学 2010年数学第6問解答・解説

三角関数極限微分法数列

このページには広告が含まれます。

1問題

信州大学2010年度第6問

関数 $\displaystyle y=\frac{\cos x}{e^{x}}\quad(x>0)$ の極大値を，大きい方から順に $a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n},\dots$ とする。

(1) 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(2) 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n}$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a_n=\frac1{\sqrt2}e^{-\frac{7\pi}{4}-2\pi(n-1)}$ (n=1,2,…). (2) $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac{e^{-7\pi/4}}{\sqrt2(1-e^{-2\pi})}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$y=e^{-x}\cos x\;(x>0)$ とおくと、 $y'=-e^{-x}(\sin x+\cos x),\qquad y''=2e^{-x}\sin x.$ $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$ より、正の停留点は $\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\qquad(k=0,1,2,\ldots).$ $k$ が偶数なら $\sin x=\sqrt2/2>0$ なので極小、奇数なら $\sin x=-\sqrt2/2<0$ なので極大となる。従って極大点は $\displaystyle x=\frac{7\pi}{4}+2\pi m\qquad(m=0,1,2,\ldots),$ そこで $\cos x=1/\sqrt2$ である。 (1) 極大値は $\displaystyle a_n=\frac1{\sqrt2}\exp\left(-\frac{7\pi}{4}-2\pi(n-1)\right).$ 公比は $0<e^{-2\pi}<1$ を満たすので、この順序で大きい順に並ぶ。 (2) 等比級数の和より $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac{e^{-7\pi/4}}{\sqrt2}\sum\limits _{n=1}^{\infty}(e^{-2\pi})^{n-1}=\frac{e^{-7\pi/4}}{\sqrt2(1-e^{-2\pi})}.$

この問題で使う考え方

微分
等比数列

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。