5信州大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1) $\mathbf u=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf v=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf w=\overrightarrow{OC}$ とおく。辺の方向をベクトルで表すと、条件は $$\mathbf u\cdot(\mathbf w-\mathbf v)=0, \qquad \mathbf v\cdot(\mathbf u-\mathbf w)=0.$$ 従って $\mathbf u\cdot\mathbf w=\mathbf u\cdot\mathbf v$ かつ $\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf w$ である。内積の順序を入れ替えられるので、$\mathbf w\cdot\mathbf v=\mathbf w\cdot\mathbf u$。よって $$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB} =\mathbf w\cdot(\mathbf v-\mathbf u)=0.$$ したがって $\boxed{OC\perp AB}$。

(2) $u=x^2$ と置けば $du=2x\,dx$ であり、$\displaystyle x^3dx=x^2(x\,dx)=\frac12u\,du$。そこで $$\displaystyle \int x^3e^{x^2}\,dx=\frac12\int ue^u\,du.$$ 部分積分すると $\displaystyle \int ue^u\,du=ue^u-\int e^u\,du=(u-1)e^u+C$。元の変数に戻して $$\displaystyle \boxed{\int x^3e^{x^2}\,dx=\frac12(x^2-1)e^{x^2}+C}.$$

(3) 各項を変形し、$g(x)=1/(4-x^2)$ とおくと $$\displaystyle \frac{n}{4n^2-k^2}=\frac1n\frac1{4-(k/n)^2}=\frac1n g\left(\frac kn\right).$$ $0\leq x\leq1$ では $4-x^2\geq3$ なので $g$ は連続である。したがって和は $0\le x\le1$ を幅 $1/n$ で分けた各小区間の右端の値を用いるので、区分求積法によりその極限は $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{4-x^2}.$$ 部分分数（または標準積分公式）から $$\displaystyle \int\frac{dx}{4-x^2}=\frac14\log\frac{2+x}{2-x}\qquad(0\leq x\leq1).$$ よって求める極限値は $$\displaystyle \boxed{\int_0^1\frac{dx}{4-x^2} =\frac14\left[\log\frac{2+x}{2-x}\right]_0^1 =\frac14\log3}.$$