4信州大学 2010年 数学 第4問解答・解説

円$C$の中心を$O=(p,p^{2}/4)$、半径を$r=p^{2}/4$とする。直線$y=mx$を$mx-y=0$と書くと、点$O$からこの直線までの距離は $$\displaystyle \frac{|mp-p^{2}/4|}{\sqrt{m^{2}+1}}.$$ 接する条件はこれが半径に等しいことだから、$p>0$を用いて $$\displaystyle \frac{|mp-p^{2}/4|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{p^{2}}4 \text{、すなわち} (m-p/4)^2=\frac{p^{2}}{16}(m^{2}+1).$$ 両辺を展開して整理すると $$16m^{2}-8mp=p^{2}m^{2},\qquad m\bigl((16-p^{2})m-8p\bigr)=0.$$ $m>0$かつ$0<p<4$より $$\displaystyle \boxed{m=\frac{8p}{16-p^{2}}}.$$

次に放物線と直線の交点の$x$座標は $$\displaystyle \frac{x^{2}}4=mx\text{、すなわち} x(x-4m)=0,$$ したがって$x=0,4m$。$0<x<4m$では$mx-x^{2}/4>0$なので、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_{0}^{4m}\left(mx-\frac{x^{2}}4\right)dx =\left[\frac{m x^{2}}2-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4m} =\frac{8}{3}m^{3}.$$ これが$1/3$だから、$m>0$より$m^{3}=1/8$、$m=1/2$。これを(1)に代入すると $$\displaystyle \frac12=\frac{8p}{16-p^{2}}\text{、すなわち} p^{2}+16p-16=0,$$ ゆえに$p=-8\pm4\sqrt5$。条件$0<p<4$を満たすのは $$\boxed{p=4\sqrt5-8=4(\sqrt5-2)}$$ だけである。