3信州大学 2010年 数学 第3問解答・解説

問題の定数項を除いた部分を $$h(x)=2\sin 3x+\cos 2x-2\sin x$$ とし、$t=\sin x$ とおくと $-1\le t\le1$ である。三角関数の差の公式より $$2\sin3x-2\sin x=2(\sin3x-\sin x)=4\sin x\cos2x$$ だから、$\cos2x=1-2t^2$ を用いて $$h(x)=\cos2x(1+4\sin x)=(1-2t^2)(1+4t)=1+4t-2t^2-8t^3=:g(t).$$ この多項式について $$3-g(t)=2(t+1)(4t^2-3t+1)\ge0, \qquad g(t)+5=2(1-t)(4t^2+5t+3)\ge0$$ である。実際、$4t^2-3t+1$ の判別式は $-7$、$4t^2+5t+3$ の判別式は $-23$ で、両二次式は常に正である。また $-1\le t\le1$ より $t+1\ge0$、$1-t\ge0$。したがって $-5\le g(t)\le3$。$t=1$ と $t=-1$ はそれぞれ $x=\pi/2$ と $x=-\pi/2$ で実現するので、$h$ の最小値は $-5$、最大値は $3$ である。 $$y=h(x)+a$$ より、$y$ の最小値は $a-5$、最大値は $a+3$。条件は $$|a-5|=a+3.$$ 右辺が非負となる必要があり、場合分けすると、$a\le5$ では $5-a=a+3$ より $a=1$、$a\ge5$ では $a-5=a+3$ は不可能である。よって求める値は $\boxed{1}$。