2大阪大学 2010年 数学 第2問解答・解説

交点を $P=(x_0,y_0)$ とし、$s=\sin^2\theta,\ c=\cos^2\theta$ とおく。さらに $u=x_0^2,\ v=y_0^2$ とおけば、交点の条件は $$\displaystyle u+3v=3,\qquad \frac{u}{c}-\frac{v}{s}=2$$ である。第1式から $u=3-3v$ なので、第2式に代入して $$\displaystyle 3s-(3s+c)v=2cs,\qquad v=\frac{s(3-2c)}{3s+c}=\frac{s(1+2s)}{1+2s}=s.$$ したがって $u=3c$。$x_0,y_0>0$ と $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より $$P=(\sqrt3\cos\theta,\ \sin\theta).$$ 楕円 $C_1$ の接線の式は $x_0x+3y_0y=3$ であるから、$y$ 軸との交点は $$Q=(0,1/y_0)=(0,\csc\theta).$$ 双曲線 $C_2$ の接線の式は $$\displaystyle \frac{x_0x}{c}-\frac{y_0y}{s}=2$$ であるから、$y$ 軸との交点は $$R=(0,-2s/y_0)=(0,-2\sin\theta).$$ よって、$t=\sin\theta\ (0<t<1)$ とおくと $$\displaystyle QR=\frac1t+2t\ge 2\sqrt{\frac1t\cdot 2t}=2\sqrt2.$$ 等号は $1/t=2t$、すなわち $t=1/\sqrt2$ のとき成立する。この値は $\theta=\pi/4$ で実現するので、求める最小値は $2\sqrt2$ である。