3大阪大学 2010年 数学 第3問解答・解説

$\ell$,m,n$\geq$ 3 は整数である。元の式を変形すると $$\displaystyle \left(1-\frac{n(m-2)}{2m}\right)\ell=2 \quad\text{すなわち}\quad n=\frac{2m(\ell-2)}{\ell(m-2)} =\frac{2m}{m-2}\cdot\frac{\ell-2}{\ell}.$$ ここで $\displaystyle 0<\dfrac{\ell-2}{\ell}<1$ だから $$\displaystyle 3\leq n<\frac{2m}{m-2}.$$ したがって $\displaystyle \dfrac{2m}{m-2}>3$、すなわち $m<6$ であり、$m=3,4,5$ に限られる。

$m=3$ のとき $\displaystyle n=6-\dfrac{12}{\ell}$ である。$n$ が整数であるためには $\ell$ は $12$ の約数であり、また $n\geq3$ より $\ell\geq4$ である。よって $\ell=4,6,12$ で、それぞれ $n=3,4,5$ を得る。

$m=4$ のとき $\displaystyle n=4-\dfrac{8}{\ell}$ である。$\ell$ は $8$ の約数で、$n\geq3$ より $\ell\geq8$ だから、$\ell=8$、$n=3$ である。

$m=5$ のとき $\displaystyle 3\leq n<\dfrac{10}{3}$ だから、整数 $n$ は $3$ に限られる。$\displaystyle 3=\dfrac{10(\ell-2)}{3\ell}$ より $\ell=20$ である。

以上より、求める組は $$(\ell,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3)$$ である。