4大阪大学 2010年 数学 第4問解答・解説

球 $T_1,T_2$ の中心をそれぞれ $O_1,O_2$、球 $S$ の中心を $P$ とする。$T_1,T_2$ は内接しているので、$O_1O_2=3-1=2$ である。

条件 (A) は $O_1P+1\leq 3$、すなわち $O_1P\leq 2$ と同値である。また条件 (B) は $O_2P\geq 1+1=2$ と同値である。したがって、$D$ は中心 $O_1$、半径 $2$ の球のうち、中心 $O_2$、半径 $2$ の球の内部との共通部分を除いた部分である。

二つの半径 $2$ の球の共通部分を考える。中心間距離は $2$ だから、両球の境界の交わりを含む対称面は $O_1O_2$ の垂直二等分面である。この面から各中心までの距離は $1$ なので、共通部分は高さ $2-1=1$ の球冠二つからなる。半径 $2$ の球の中心から軸方向に距離 $x$ の位置で切った断面の半径の二乗は $4-x^2$ である。よって球冠一つの体積は $\displaystyle \pi\int_1^2(4-x^2)\,dx=\pi\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=\frac{5\pi}{3}$ であり、二球の共通部分の体積は $\displaystyle \frac{10\pi}{3}$ である。

求める体積は、半径 $2$ の球の体積からこの共通部分の体積を引いたものである。境界面は体積に影響しないから、$\displaystyle \frac{4}{3}\pi\cdot 2^3-\frac{10\pi}{3}=\boxed{\frac{22\pi}{3}}$。