4熊本大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(問1) $xy$平面上で$K$が通過する部分を$S$とする。$O=(0,0)$とおくと、$S$は線分$OR(t)$の和であるから $$(x,y)=\bigl(\lambda t,\lambda(t^2-t+1)\bigr),\qquad 0\le t\le2,\quad0\le\lambda\le1.$$ $x>0$のとき$x=\lambda t$より$x\le t\le2$、また $$\displaystyle y=xh(t),\qquad h(t)=t-1+\frac1t.$$ $0<u<v\le1$なら$h(v)-h(u)=(v-u)(1-1/(uv))<0$、$1\le u<v$なら$h(v)-h(u)>0$である。したがって$h$は$0<t\le1$で減少し、$t\ge1$で増加する。特に$h(1)=1$、$h(2)=3/2$である。$0<x\le1$では最小値が$h(1)=1$、最大値は$h(x)$と$h(2)$の大きい方となる。また $$\displaystyle h(x)-h(2)=\frac{(2x-1)(x-2)}{2x},$$ より、最大値は$0<x\le1/2$で$h(x)$、$1/2\le x\le1$で$h(2)$である。$1\le x\le2$では$h$が増加するから、$h(x)\le h(t)\le h(2)$となる。ゆえに各$x$での$y$の範囲は $$\begin{cases} x\le y\le x^2-x+1 &(0\le x\le1/2),\\ x\le y\le3x/2 &(1/2\le x\le1),\\ x^2-x+1\le y\le3x/2 &(1\le x\le2). \end{cases}$$ $x=0$では$t=0$から$0\le y\le1$を得るので、上の範囲の端点と一致する。したがって面積は $$\displaystyle \begin{aligned} [S]&=\int_0^{1/2}(x^2-2x+1)\,dx+\int_{1/2}^1\frac{x}{2}\,dx+\int_1^2\left(-x^2+\frac52x-1\right)\,dx\\ &=\frac7{24}+\frac3{16}+\frac5{12}=\boxed{\frac{43}{48}}. \end{aligned}$$ (問2) 高さ$z$が$0\le z\le1$の平面で切ると、各三角形の断面は軸上の点$(0,0,z)$と辺$PR$上の点を結ぶ線分であり、そのxy座標は$OR(t)$を$1-z$倍した線分となる。$-1\le z\le0$でも同様に、軸上の点と辺$QR$上の点を結ぶ線分のxy座標は$OR(t)$を$1+z$倍したものとなる。したがって、高さ$z$での断面積は $$\displaystyle A(z)=\frac{43}{48}(1-|z|)^2\qquad(-1\le z\le1).$$ よって $$\displaystyle \operatorname{Vol}(K)=\int_{-1}^1\frac{43}{48}(1-|z|)^2\,dz=\frac{43}{24}\int_0^1(1-z)^2\,dz=\boxed{\frac{43}{72}}.$$ $z=\pm1$では断面は一点となり面積は0、$z=0$では問1の面積となることも倍率と一致する。