1熊本大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(問1)　 $P(x)=x^5-x$ とおくと， $$P(x)=x(x^4-1)=x(x-1)(x+1)(x^2+1).$$ 連続する3整数 $x-1,x,x+1$ の中には偶数と3の倍数がそれぞれ少なくとも1つある。したがって $6\mid x(x-1)(x+1)$ であり，$6\mid P(x)$ である。

一方，$x$ の5で割った余りは $0,1,2,3,4$ のいずれかである。余りがそれぞれ $0,1,2,3,4$ のとき，因数 $x,x-1,x^2+1,x^2+1,x+1$ のうち対応するものが5の倍数となる。よって $5\mid P(x)$ である。

$P(x)=6q$（$q$ は整数）とおくと，$5\mid P(x)$ かつ $6\equiv1\pmod5$ より $5\mid q$ である。したがって $P(x)=30r$（$r$ は整数）となり，$x^5-x$ は30の倍数である。

(問2)　 (問1)より，整数 $a,b$ を用いて $x^5-x=30a$，$y^5-y=30b$ と書ける。このとき $$x^5y-xy^5=y(x^5-x)-x(y^5-y)=30(ya-xb).$$ $ya-xb$ は整数なので，$x^5y-xy^5$ は30の倍数である。