3熊本大学 2011年 数学 第3問解答・解説

直線 $y=x+b$ を楕円 $x^2+4y^2=4$ に代入すると、 $$5x^2+8bx+4b^2-4=0$$ を得る。この二次方程式が異なる2実根をもつ条件は、判別式 $D$ が正であることだから、 $$D=(8b)^2-4\cdot5(4b^2-4)=16(5-b^2)>0.$$ よって、$$-\sqrt5<b<\sqrt5.$$

次に、この範囲の $b$ について、交点 $A,B$ の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とする。二次方程式の解の差より、 $$\displaystyle |x_1-x_2|=\frac{\sqrt D}{5}=\frac45\sqrt{5-b^2}.$$ 直線の傾きが $1$ なので、 $$\displaystyle AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt2|x_1-x_2|=\frac{4\sqrt2}{5}\sqrt{5-b^2}.$$ また、直線を $x-y+b=0$ と書くと、点 $P(2,0)$ からこの直線までの距離は $|b+2|/\sqrt2$ である。したがって、三角形 $PAB$ の面積を $S$ とすると、 $$\displaystyle S=\frac12\cdot AB\cdot\frac{|b+2|}{\sqrt2}=\frac25|b+2|\sqrt{5-b^2}.$$

$S$ は非負なので、$S$ の最大化は $g(b)=(b+2)^2(5-b^2)$ の最大化と同じである。区間の両端では $g$ は $0$ に近づき、区間内の停留点は $$g'(b)=2(b+2)(5-2b^2-2b)=0$$ より、$b=-2$ または $b=(-1\pm\sqrt{11})/2$ である。$b=-2$ および区間の両端で $g=0$ となる。一方、$b_\pm=(-1\pm\sqrt{11})/2$ では $5-b_\pm^2=(4\pm\sqrt{11})/2$ だから、 $$\displaystyle g(b_\pm)=\frac{(3\pm\sqrt{11})^2(4\pm\sqrt{11})}{8}.$$ ここで $\sqrt{11}>3$ かつ $4-\sqrt{11}>0$ より、 $$(3+\sqrt{11})^2>(\sqrt{11}-3)^2,\qquad 4+\sqrt{11}>4-\sqrt{11}>0,$$ したがって $g(b_+)>g(b_-)$ である。よって面積が最大となるのは、 $$\displaystyle \boxed{b=\frac{-1+\sqrt{11}}{2}}$$ のときである。