熊本大学 2011年数学第2問解答・解説

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1問題

熊本大学2011年度第2問

平行六面体 $OADB\text{-}CEGF$ において，辺 $OA$ の中点を $M$ ，辺 $AD$ を $2:3$ に内分する点を $N$ ，辺 $DG$ を $1:2$ に内分する点を $L$ とする。また，辺 $OC$ を $k:1-k$ （ $0<k<1$ ）に内分する点を $K$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

平行六面体OADB–CEGFの図で、下面の左手前にO、右手前にA、右奥にD、左奥にB、対応する上面の頂点にC,E,G,Fが記されている。辺OB,BD,BFは破線、ほかの辺は実線で描かれている。

(問1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき， $\overrightarrow{\mathrm{MN}},\overrightarrow{\mathrm{ML}},\overrightarrow{\mathrm{MK}}$ を $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。　 (問2) 3点 $M,N,K$ の定める平面上に点 $L$ があるとき， $k$ の値を求めよ。　 (問3) 3点 $M,N,K$ の定める平面が辺 $GF$ と交点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ACCEPTED

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解説

平行六面体の各頂点を $\vec a,\vec b,\vec c$ の和で表し、内分点の公式を使って $M,N,L,K$ の位置を求めます。各位置ベクトルの差を取れば、(1) の3本のベクトルが得られます。

(2) は $L$ が平面 $MNK$ 上にあることを、基準点 $M$ からのベクトル $\overrightarrow{ML}$ が $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MK}$ の一次結合になる条件として表します。 $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を比べると、まず $s,t$ が定まり、続いて $k=2/9$ です。 $MN$ と $MK$ は $\vec b$ 成分の有無から平行でないため、これらは平面を定めます。

(3) では辺 $GF$ 上の点を $P=F+u(G-F)$ と置きます。辺上である条件は $0\le u\le1$ 。平面上にある条件から $u=7/4-1/(2k)$ を得て、この閉区間不等式を解くと答えになります。端点は $F,G$ なので含みます。

この問題で使う考え方

位置ベクトル
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルの成分表示
ベクトルによる図形の考察

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