3筑波大学 2013年 数学 第3問解答・解説

$|AB|=|BC|=|CA|=\sqrt2$ なので $ABC$ は正三角形である。その重心は内心に一致し、$AB$ への接点は辺 $AB$ の中点だから $$\displaystyle P=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right),\qquad Q=\left(\frac12,\frac12,0\right).$$ 円板の半径は $$\displaystyle R=PQ=\sqrt{\left(\frac16\right)^2+\left(\frac16\right)^2+\left(\frac13\right)^2}=\frac1{\sqrt6}.$$

円板の存在する平面は $\Pi:x+y+z=1$ である。$\Pi$ の方向への $z$ 座標の変化率は、$z$ 軸方向ベクトル $(0,0,1)$ を $\Pi$ に射影したベクトル $(-1/3,-1/3,2/3)$ の大きさ $\sqrt{2/3}$ である。したがって、中心 $P$ から平面 $z=t$ との交線までの円板内距離は $$\displaystyle d(t)=\frac{|t-1/3|}{\sqrt{2/3}}=\sqrt{\frac32}\left|t-\frac13\right|.$$

(2) 交わりがある条件は $d(t)\le R$。よって $$\displaystyle \frac32\left(t-\frac13\right)^2\le\frac16\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 0\le t\le\frac23.$$

(3) 交わりが線分となるとき、その長さは円の弦の長さだから $$\displaystyle L(t)=2\sqrt{R^2-d(t)^2}=2\sqrt{\frac16-\frac32\left(t-\frac13\right)^2}=\sqrt{2t(2-3t)}\quad\left(0<t<\frac23\right).$$ $t=0,\,2/3$ では交わりは一点となり、長さは $0$ である。

(4) 高さ $z=t$ の弦の中点は $M_t=((1-t)/2,(1-t)/2,t)$ であり、弦の方向 $(1,-1,0)$ は $OM_t$ の水平成分に垂直である。弦を $z$ 軸のまわりに回すと円環になり、内半径は $OM_t=(1-t)/\sqrt2$、外半径の平方と内半径の平方との差は弦の半分の長さの平方 $L(t)^2/4$ である。したがって断面積は $$\displaystyle S(t)=\pi\frac{L(t)^2}{4}=\frac\pi2t(2-3t)\quad\left(0\le t\le\frac23\right).$$ ゆえに体積は $$\displaystyle V=\int_0^{2/3}S(t)\,dt=\frac\pi2\int_0^{2/3}(2t-3t^2)\,dt=\frac\pi2\left[t^2-t^3\right]_0^{2/3}=\frac{2\pi}{27}.$$