1筑波大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $c=\cos t$ とおくと、$$\begin{aligned}2g(t)-1&=2(\cos3t-\cos2t+\cos t)-1\\&=2((4c^3-3c)-(2c^2-1)+c)-1\\&=8c^3-4c^2-4c+1=f(2c).\end{aligned}$$

(2) 積和公式と $2\cos^2\theta=1+\cos2\theta$ より$$\begin{aligned}2g(\theta)\cos\theta&=2\cos3\theta\cos\theta-2\cos2\theta\cos\theta+2\cos^2\theta\\&=\cos4\theta+\cos2\theta-\cos3\theta-\cos\theta+1+\cos2\theta\\&=1+2\cos2\theta+\cos4\theta-\cos3\theta-\cos\theta,\\1+\cos\theta-2g(\theta)&=1+2\cos2\theta-2\cos3\theta-\cos\theta.\end{aligned}$$ 両者の差は $\cos4\theta+\cos3\theta$ である。$\displaystyle \theta=\frac\pi7$ なら $4\theta=\pi-3\theta$ だから $\cos4\theta=-\cos3\theta$。よって差は0であり、求める等式が成り立つ。

(3) (2)より、$\displaystyle \theta=\frac\pi7$ に対して$$2g(\theta)(1+\cos\theta)=1+\cos\theta.$$ $1+\cos\theta>0$ なので $2g(\theta)=1$。これを (1) に代入すると$$\displaystyle f\left(2\cos\frac\pi7\right)=2g\left(\frac\pi7\right)-1=0,$$よって $\displaystyle 2\cos\frac\pi7$ は $f(x)=0$ の解である。