1大阪大学 2010年 数学 第1問解答・解説

原文・対象確認

PDF p.5（印刷p.3）の大問1を原画像で確認した。自然対数として $f(x)=2\log(1+e^x)-x-\log2$ と定義し、(1) $\log f''(x)=-f(x)$ の証明、(2) $\displaystyle \int_0^{\log2}(x-\log2)e^{-f(x)}dx$ の計算を求める問題で、OCRと一致する。

数学・範囲の点検

(1) $\displaystyle f'(x)=\frac{2e^x}{1+e^x}-1=\frac{e^x-1}{e^x+1}$、$\displaystyle f''(x)=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}>0$。正値性により $\log f''$ が定義され、$\log f''=\log2+x-2\log(1+e^x)=-f(x)$。

(2) したがって $e^{-f(x)}=f''(x)$。$a=\log2$ とおくと、部分積分から $I=[(x-a)f'(x)]_0^a-[f(x)]_0^a$。上端は $x-a=0$、下端は $f'(0)=0$ なので境界項は0。よって $I=f(0)-f(a)$。$f(0)=\log2$、$f(a)=2\log3-2\log2$ から $I=3\log2-2\log3=\log(8/9)$。採用解説の計算と一致する。

指数・対数関数の微分と部分積分だけを使う高校範囲の解法である。

採用する解説