三重大学 2011年数学第1問解答・解説

数と式数学と人間の活動（整数）

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1問題

三重大学2011年度第1問

次のふたつの方程式を考える。

x² + y² = z² ……① s² + t² = u² + 1 ……②

(1) 実数 a, b に対し実数 a*, b* を a* = a + b, b* = 2a + b + 1 で定める。(x, y, z) = (a, a + 1, b) が①の解ならば (s, t, u) = (a*, a* + 1, b*) は②の解であることを示せ。また，逆に (s, t, u) = (a, a + 1, b) が②の解ならば (x, y, z) = (a*, a* + 1, b*) は①の解であることを示せ。

(2) 方程式①の自然数解 (x, y, z) をピタゴラス数という。y = x + 1 を満たすピタゴラス数を3組あげよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) (a,a+1,b)が①の解 $\Rightarrow (a^*,a^*+1,b^*)$ が②の解 $;\quad (a,a+1,b)$ が②の解 $\Rightarrow (a^*,a^*+1,b^*)$ が①の解.
$(2)\; (x,y,z)=(3,4,5),\space{}(20,21,29),\space{}(119,120,169).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $A=a^2+(a+1)^2,\quad a^*=a+b,\quad b^*=2a+b+1$ とおく。 $(a+b)^2+(a+b+1)^2-\{(2a+b+1)^2+1\}=b^2-A.$ $(a,a+1,b)$ が①の解なら $A=b^2$ なので、左辺は $0$ となり、 $(a^*,a^*+1,b^*)$ は②を満たす。逆に $(a,a+1,b)$ が②の解なら $A=b^2+1$ である。 $(a+b)^2+(a+b+1)^2-(2a+b+1)^2=b^2-A+1=0$ となるから、 $(a^*,a^*+1,b^*)$ は①を満たす。 (2) $3^2+4^2=25=5^2,\quad20^2+21^2=841=29^2,\quad119^2+120^2=14161+14400=28561=169^2$ 。 $\therefore\ (3,4,5),\ (20,21,29),\ (119,120,169)$ は条件を満たす。

この問題で使う考え方

等式・不等式の証明

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