5東京大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$T=10^k$, $N=a_1 10^{k-1}+a_2 10^{k-2}+\cdots+a_k$ と置くと、$x=0.a_1a_2\cdots a_k=N/T$ である。$a_k\ne0$ だから $1\le N\le T-1$、特に $0<x<1$。

(1) 求める条件は $T+N/T\le\sqrt n<T+(N+1)/T$ である。両辺は正なので2乗して $T^2+2N+N^2/T^2\le n<T^2+2N+2+(N+1)^2/T^2$。ここで $0<N^2/T^2<1$ かつ $0<(N+1)^2/T^2\le1$ だから、この区間に入る整数は $T^2+2N+1$ と $T^2+2N+2$ だけであり、どちらも条件を満たす。よって $n=10^{2k}+2N+1$ または $10^{2k}+2N+2$。

(2) $L=(p+x)^2$, $U=(p+x+1/T)^2$ と置く。$p\ge5\cdot10^{k-1}=T/2$ より、$U-L=2(p+x)/T+1/T^2>2p/T\ge1$。$r$ を $L$ 以下の最大の整数として $m=r+1$ とすれば、$L<m\le L+1<U$ である。従って $p+x<\sqrt m<p+x+1/T$ となり、特に $x\le\sqrt m-p<x+10^{-k}$。また $m$ は正の整数である。

(3) そのような $s$ があると仮定し、$r=[\sqrt s]$ とする。すると $\sqrt s=r+x=r+N/T$ は有理数である。$\sqrt s=u/v$ を互いに素な正整数 $u,v$ で表すと $u^2=sv^2$。もし $v>1$ なら素数 $\ell$ が $v$ を割り、等式から $\ell$ は $u^2$、従って $u$ も割るため、互いに素であることに反する。よって $v=1$ で $\sqrt s$ は整数となり、その小数部分は0である。しかし $x=N/T>0$ だから矛盾する。従ってそのような $s$ は存在しない。