6東京大学 2016年 数学 第6問解答・解説

点 $A$ は平面 $z=0$ 上にあるので、$A=(a,b,0)$ とおく。点 $C=(0,0,1)$ までの距離を $$d=|AC|=\sqrt{a^2+b^2+1}$$ とする。点 $C$ が長さ $2$ の線分 $AB$ 上にあるには $d\le2$ であり、線分は $A$ から $C$ を通ってさらに同じ方向へ伸びる。したがって、線分上の点 $P$ は $$\displaystyle P=A+t(C-A),\qquad 0\le t\le\frac2d$$ と表せる。この点の高さは $z=t$ である。

求める部分では $z\ge1$ だから、線分上に高さ $z$ の点がある条件は $$\displaystyle 1\le z\le\frac2d,$$ すなわち $1\le z$ かつ $d\le2/z$ である。$d\ge1$ より $z\le2$ でもある。よって高さは $1\le z\le2$ に限られ、その高さで点が通る条件は $$\displaystyle a^2+b^2\le\frac4{z^2}-1.$$ 一方、$P$ の水平座標は $$(x,y)=((1-z)a,(1-z)b).$$ したがって、$1<z<2$ で高さ $z$ の断面は、中心 $(0,0)$、半径 $$\displaystyle R(z)=(z-1)\sqrt{\frac4{z^2}-1}$$ の円盤になる。これは必要条件だけでなく十分条件でもある。実際、この円盤内の任意の $(x,y)$ に対して $a=-x/(z-1),\ b=-y/(z-1)$ と選べば、上の不等式を満たす $A$ が得られ、対応する長さ $2$ の線分が $(x,y,z)$ を通る。$z=1,2$ では断面は半径 $0$ の点であり、体積には影響しない。

よって断面積を高さ $1$ から $2$ まで積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_1^2R(z)^2\,dz\\ &=\pi\int_1^2(z-1)^2\left(\frac4{z^2}-1\right)dz. \end{aligned}$$ 被積分関数を展開すると $$\displaystyle (z-1)^2\left(\frac4{z^2}-1\right)=-z^2+2z+3-\frac8z+\frac4{z^2}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\left[-\frac{z^3}{3}+z^2+3z-8\ln z-\frac4z\right]_1^2\\ &=\boxed{\pi\left(\frac{17}{3}-8\ln2\right)}. \end{aligned}$$