2島根大学 2014年 数学 第2問解答・解説

問2 $a,b,c,n$ は正の整数，$a\le b\le c$，$n(a+b+c)=abc$ とする。

(1) $a=b=c=t$ とおくと，$3nt=t^3$ であり，$t>0$ より $$t^2=3n.$$ 整数の平方を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ なので，$3\mid t^2$ から $3\mid t$ が従う。 $t=3m$（$m$ は正の整数）とおけば $9m^2=3n$，ゆえに $$\boxed{n=3m^2}.$$ 特に $n$ は $3$ の倍数である。

(2) $n=3$ とする。$a\le b\le c$ から $a+b+c\le3c$ なので， $abc=3(a+b+c)\le9c$，従って $ab\le9$ である。 一方，元の等式を $c$ について整理すると $$c(ab-3)=3(a+b)>0$$ であり，$ab>3$ が必要である。よって $4\le ab\le9$。 さらに $a^2\le ab\le9$ から $a=1,2,3$ に限られる。 また，$ab>3$ のもとで $$\displaystyle c=\frac{3(a+b)}{ab-3}.$$ $a\le b$ と $4\le ab\le9$ を同時に課すと，候補と対応する $c$ は次のとおり。 $$\begin{array}{c|l|l} a & b\text{ の全候補} & \text{対応する }c\\ \hline 1 & 4,5,6,7,8,9 & 15,9,7,6,27/5,5\\ 2 & 2,3,4 & 12,5,18/5\\ 3 & 3 & 3 \end{array}$$ 各行の $b$ と $c$ は左から順に対応する。$c$ が正の整数で $b\le c$ となるものだけを残すと $$\boxed{(a,b,c)=(1,4,15),(1,5,9),(1,6,7), (2,2,12),(2,3,5),(3,3,3)}.$$ これらは表示した $c$ の式を満たし，$a\le b\le c$ だから，すべて元の等式を満たす。 上の境界で $a,b$ の可能性を尽くしているので，ほかに解はない。