4島根大学 2014年 数学 第4問解答・解説

解答

$X$ を成分ごとに掛けると $$X^2=\begin{pmatrix} 3x^2+x-1&2x^2+x-1\\ -3x^2-x+2&-2x^2-x+2 \end{pmatrix}. \tag{1}$$

(1) $\displaystyle x=\frac12$ のとき $$\displaystyle X=\begin{pmatrix}\frac12&0\\\frac12&1\end{pmatrix}.$$ $n=1$ では $\displaystyle Q_1(\frac12)=0$ である。$X^n=\begin{pmatrix}P_n&0\\R_n&S_n\end{pmatrix}$ と仮定すると、右から $X$ を掛けて $$X^{n+1}=\begin{pmatrix}P_n/2&0\\(R_n+S_n)/2&S_n\end{pmatrix}$$ となるので $\displaystyle Q_{n+1}(\frac12)=0$ である。よって帰納法によりすべての自然数 $n$ で $\displaystyle Q_n(\frac12)=0$。

$\displaystyle x=\frac23$ のとき $$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&\frac13\\0&\frac23\end{pmatrix}.$$ $n=1$ では $\displaystyle R_1(\frac23)=0$ である。$X^n=\begin{pmatrix}P_n&Q_n\\0&S_n\end{pmatrix}$ と仮定すると $$X^{n+1}=\begin{pmatrix}P_n&P_n/3+2Q_n/3\\0&2S_n/3\end{pmatrix}$$ となるので $\displaystyle R_{n+1}(\frac23)=0$ である。したがって帰納法によりすべての自然数 $n$ で $\displaystyle R_n(\frac23)=0$。なお $0$ を自然数に含める約束でも、$X^0=E$ の非対角成分は $0$ である。

(2) (1) から、$X^2+aX+bE$ の非対角成分は $$(2x-1)(x+a+1),\qquad (-3x+2)(x+a+1)$$ である。$2x-1$ と $-3x+2$ は同時に $0$ にはならない（前者が $0$ なら $\displaystyle x=\frac12$、後者が $0$ なら $\displaystyle x=\frac23$）。よって行列が $O$ となるには $x+a+1=0$ が必要である。このとき対角成分はともに $b-x$ となるから、さらに $b=x$ が必要である。したがって必要条件は $a+b+1=0$。

逆に $a+b+1=0$ なら $x=b$ とおくと $x+a+1=0$ かつ $b-x=0$ であり、非対角成分・対角成分がすべて $0$ となる。ゆえに求める条件は $$\boxed{a+b+1=0}\qquad(a,b\text{ は実数}).$$

(3) (1) を用い、$X^3=X^2X$ の非対角成分を直接計算すると $$\begin{aligned} (X^3)_{12}&=(3x^2+x-1)(2x-1)+(2x^2+x-1)(-2x+2)\\ &=2x^3+x^2+x-1=(2x-1)(x^2+x+1),\\[2mm] (X^3)_{21}&=(-3x^2-x+2)(3x-1)+(-2x^2-x+2)(-3x+2)\\ &=-3x^3-x^2-x+2=(-3x+2)(x^2+x+1). \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle x^2+x+1=(x+\frac12)^2+\frac34>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。もし $X^3=O$ なら両非対角成分も $0$ なので $2x-1=0$ と $-3x+2=0$ が同時に成り立たなければならないが、前者は $\displaystyle x=\frac12$、後者は $\displaystyle x=\frac23$ を与え、矛盾する。したがって $X^3=O$ をみたす実数 $x$ は存在しない。

検算 (2) の条件では $x=b$ と選べば $X^2+aX+bE$ の各成分が $0$ となる。(3) では $x^2+x+1$ が常に正で、二つの非対角成分を同時に $0$ にできないことを確認した。