1島根大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$x=\cos\theta$ とおくと $r=3+x, r'=-\sin\theta, r''=-x$。よって $$r^2+(r')^2=(3+x)^2+1-x^2=2(5+3x),$$ $$r^2+2(r')^2-rr''=(3+x)^2+2(1-x^2)+(3+x)x=11+9x.$$ $-1\le x\le1$ では分母は2以上で、$f(\theta)=F(x)$ と書ける。ここで $$\displaystyle F(x)=\frac{2\sqrt2(5+3x)^{3/2}}{11+9x}.$$ (1) 端点を代入して $$\displaystyle f(0)=F(1)=\frac{16^{3/2}}{20}=\frac{16}{5},\qquad f(\pi)=F(-1)=\frac{4^{3/2}}2=4.$$ (2) 微分すると $$\displaystyle F'(x)=\frac{9\sqrt2(1+3x)\sqrt{5+3x}}{(11+9x)^2},\qquad f'(\theta)=-\sin\theta F'(\cos\theta).$$ $\theta=0$ の左側では $\sin\theta<0$、右側では $\sin\theta>0$、かつ近傍で $F'(\cos\theta)>0$。よってfは左側で増加し右側で減少する。$\theta=\pi$ の近くでは $F'(\cos\theta)<0$ となり、同様に左側で増加、右側で減少する。どちらも局所極大点である。 (3) $F'$ の符号は $1+3x$ の符号なので、Fは $x=-1/3$ で最小となる。このとき $$\displaystyle F(-1/3)=\frac{8^{3/2}}8=2\sqrt2.$$ 従ってfの最小値は $2\sqrt2$、条件は $\cos\theta=-1/3$。